Soit un espace vectoriel de dimension finie et , une base de . On se donne une famille de vecteurs de ,  , par leurs composantes dans la base . En utilisant des opérations élémentaires, on peut transformer cette famille en une nouvelle famille de vecteurs de , plus simple, avec conservation d’un certain nombre de propriétes de la famille et en particulier : .

La transformation sur la famille se fait en suivant la même stratégie que la méthode de Gauss pour la résolution de systèmes linéaires. Mais cette fois au lieu de faire des opérations sur des équations, on opère sur des vecteurs.
Les opérations élémentaires ”autorisées” qui conservent les propriétés citées précédemment sont

• ajouter à un des vecteurs de la famille une combinaison linéaire des autres
• permuter les vecteurs
• multiplier ou diviser un vecteur par une constante non nulle.

Échelonner la famille, c’est faire apparaître des successivement sur les lignes des composantes des vecteurs dans une base donnée.
Plus précisément, qu’est-ce qu’une famille échelonnée ?
Comment échelonner une famille de vecteurs ?

• sur un exemple
• en général

Pourquoi échelonner ?

Un échelonnement concret

Pour comprendre l’algorithme regardons comment il fonctionne sur un exemple.
Dans cet algorithme, il faut garder en mémoire les opérations effectuées.
Pour notre exemple, nous choisissons une famille de 4 vecteurs donnés par leurs composantes dans une base , dans un espace de dimension 5 sur . Nous avons choisi de disposer ces données de la manière suivante :

Par la suite, lorsqu’il n’y a pas d’ambiguité, nous n’écrirons pas les vecteurs de base. La première composante de va nous servir de ”pivot” pour annuler les premières composantes des vecteurs suivants. Ces transformations élémentaires sur les vecteurs nous donnent la famille avec

dont les composantes dans la base sont :

Pour faciliter la suite des calculs on divise par .

On utilise ensuite le , deuxième composante non nulle de pour agir sur la deuxième composante des vecteurs suivants.

On cherche alors dans les derniers vecteurs la première composante non nulle (ici la quatrième). Comme cette composante figure dans le dernier vecteur, ce pivot ne sera pas utilisé et l’algorithme s’arrête. Pour finir, on effectue une permutation pour placer les vecteurs nuls en dernière position.

On dit que cette famille a été obtenue par échelonnement de la famille .

Pourquoi échelonner ? (illustré par l’exemple précédent)

Lorsque l’on a obtenu, à l’aide d’opérations élémentaires, une famille échelonnée, on peut répondre à un certain nombre de questions sur la famille initiale. Selon la question que l’on se pose on utilisera ou non la présence de vecteurs nuls dans la famille échelonnée.

• Cas où les vecteurs nuls peuvent être éliminés
  1. Trouver des générateurs plus simples pour l’espace vectoriel engendré
     L’espace vectoriel engendré par est conservé par les opérations élementaires. De plus, on ne change pas l’espace vectoriel engendré en éliminant les vecteurs nuls. Donc

     
     

  2. Calculer le rang :
     Le rang de la famille, dimension de , est conservé et la famille est de rang : elle ne contient que vecteurs non nuls et formant une famille libre puisque échelonnée. Ainsi

  3. Trouver une base plus simple, facile à compléter,
     pour l’espace vectoriel engendré :
     L’algorithme nous fournit aussi une base échelonnée de : . Cette base est plus simple pour calculer dans . Si l’on souhaite compléter cette base de en une base de l’espace, il nous suffit de régulariser les marches de notre escalier, en intercalant un vecteur, le plus ”simple” possible entre et et en adjoignant un dernier vecteur. On obtient une base de l’espace vectoriel complétant la base de :

• Cas où les vecteurs nuls jouent un rôle important
  1. La famille est-elle libre ?
     La famille contient un vecteur nul. Donc la famille initiale est liée. Un petit calcul permet de déduire de une relation linéaire non évidente entre les vecteurs de la famille :

     Ainsi la famille est liée.
     Dans le cas où la famille échelonnée ne contient aucun vecteur nul, la famille initiale est libre.
     
     Si l’on prend soin de garder les éventuels vecteurs nuls au cours de l’algorithme, on peut dire que la famille initiale est libre si et seulement si la famille déduite par échelonnement l’est.

  2. Extraire une famille libre
     Si l’on souhaite extraire une famille libre de la famille , on peut utiliser la ou les relations trouvées précédemment. Ici, cette relation permet d’éliminer un générateur. En écrivant par exemple :

     on voit que est dans . Ainsi . La famille des vecteurs est génératrice de cet espace de dimension . C’est donc une base de , extraite de la famille .

Pour les vecteurs non nuls de cette famille, notons l’indice de la première coordonnée non nulle de .
On dit que cette famille est échelonnée dans la base si il existe un tel que pour on a (les vecteurs nuls sont les derniers de la famille) et pour les vecteurs non nuls la suite est strictement croissante de telle sorte que, dans la présentation précédente, les coordonnées des vecteurs sont nulles au-dessus d’un escalier dont les marches sont de hauteur variable.
Voici un exemple de famille échelonnée dans :

L’intérêt de travailler sur une famille échelonnée, est le résultat suivant :

Théorème : les vecteurs non nuls d’une famille échelonnée forment une famille libre.

D’autres échelonnements possibles

Nous avons décrit une famille échelonnée avec des en haut à droite.
Si on intervertit l’ordre des vecteurs nous dirons encore que la famille est échelonnée mais cette fois les se trouvent en haut à gauche.
On peut aussi permuter l’ordre des vecteurs de la base et dans ce cas les se positionnent en bas à droite (ou à gauche si l’on a aussi permuté les ). Les propriétés de la famille sont, bien sûr, conservées par toutes ces permutations.

Propriétés conservées par échelonnement

• Vect( Vect(
• rang( rang(
• est génératrice de si et seulement si est génératrice de .

Propriétés conservées par échelonnement,
si l’on garde bien les vecteurs nuls au cours de l’échelonnement

• est libre si et seulement si est libre, c’est-à-dire sans vecteur nul.
• est liée si et seulement si est liée. Les relations de dépendance linéaire dans sont données par les vecteurs nuls de .