Fonctions de R dans R
Elément de cours des exercices
 

Formulaire de trigonométrie

1 Formules élémentaires

2 Tableau de valeurs

Les valeurs particulières suivantes des fonctions sin, cos et tan sont à connaitre absolument :

|--------|----|------|------|------|-----|------| | | | π | π | π | π | | |---x----|-0--|--6---|--4---|--3---|--2--|--π---| | | | √ - | √ - | | | | | cosx | 1 | --3 | --2 | 1 | 0 | - 1 | |--------|----|--2---|--2---|--2---|-----|------| | | | | √ - | √ - | | | | sinx | 0 | 12 | -22 | -23 | 1 | 0 | |--------|----|------|------|------|-----|------| | | | -1- | | √ -- | | | |-tanx---|-0----√3------1-------3----∥------0---- | | | |

3 Formules trigonométriques

A partir des lignes trigonométriques de a, on peut obtenir sans calculs celles de - a, a + π, π - a, π2 - a, π2 + a :

cos(- a) = cosa sin (- a ) = - sin a tan(- a) = - tan a
cos(a + π ) = - cosa sin (a + π ) = - sin a tan (a + π) = tan a
cos(π - a ) = - cosa sin (π - a) = sin a tan(π - a) = - tan a
( ) cos π+ a = - sina 2 ( ) sin π+ a = cosa 2 (π ) ---1- tan 2 + a = tan a
( ) cos π- a = sin a 2 ( ) sin π- a = cosa 2 (π ) --1-- tan 2 - a = tan a

4 Formules d’addition

|-------------------------------------------------------------------------| |cos (a + b) = cos acosb - sina sin b cos(a - b) = cosa cosb + sin a sin b | | | | | |sin(a + b) = sin a cosb + cosa sin b sin (a - b) = sin acos b - cos asinb | | | | tan-a-+-tan-b- -tan-a --tan-b- | |tan (a + b) = 1 - tan a tanb tan(a - b) = 1 + tan atan b | ---------------------------------------------------------------------------

En particulier, quand a = b, on a :

|-----------------------------------------------------| | cos2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a - 1 = 1 - 2sin2a, | | | | 2 tana | | sin 2a = 2 sin acos a et tan 2a = 1 --tan2a- | ------------------------------------------------------|

5 Transformation de produits en sommes

En sommant ou en faisant la différence de cos(a + b) et cos(a - b) (même chose pour sin ), on obtient les formules de transformation de produits en sommes :

|-----------------------------------------------| |cos a × cosb = 1-(cos(a + b) + cos(a - b)) | | 2 | | | | sin a × sin b = 1-(cos(a - b) - cos (a + b)) | | 2 | | | | 1- | | sin a × cosb = 2 (sin (a + b) + sin(a - b)) | -------------------------------------------------

6 Transformation de sommes en produits

En posant p = a+ b et q = a - b) dans les formules précédentes, on obtient les formules suivantes de transformation de sommes en produits :

|----------------------------------------------------------------------------| | p-+-q p---q p-+-q p---q | | cosp - cos q = - 2sin 2 sin 2 cos p + cosq = 2 cos 2 cos 2 | | | | p + q p - q p + q p - q | | sinp + sinq = 2 sin --2-- cos--2-- sin p - sin q = 2 cos--2-- sin --2-- | -----------------------------------------------------------------------------

7 Changement de variable a t = tan -- 2

Pour le calcul des primitives de fractions rationnelles en sin et cos , on a besoin du changement de variable

t = tan a. 2

Les fonctions circulaires peuvent s’exprimer en fonction de a t = tan --: 2

|-------------2-----------------------------------------| |cos a = 1---t-, sin a = --2t-- et tan a = --2t--. | ---------1-+-t2------------1-+-t2---------------1---t2---